オーバピン（玉）法

5 歯車の歯厚

5.3　オーバピン（玉）法

下記計算は、歯車計算ソフト GCSW for Webで簡単に計算できます。→こちら

平及びはすば歯車を測定する場合は図5.6のように、偶数歯であれば相対する歯溝、奇数歯であれば180/z（°）だけかたよった歯溝にピン又は玉を入れてその外側寸法を測定します。
内歯車の場合はその内側寸法を測りますから、ヴィトイーンピン（玉）法ともいいます。
はすば歯車の測定には2個のピン（玉）を使用します。
ラックを測定する場合は図5.8のように、歯溝にピン又は玉を入れてマイクロメータにより基準面からの距離を測定します。使用するピン（玉）は1個です。
ウォームを測定する場合は図5.10のように、3本のピンを歯溝に入れてその外側寸法を測定します。
これは三針法というもので、ねじの精密測定に使われる方法です。

図5.6 平歯車のオーバピン（玉）法

（1）平歯車

オーバピン（玉）法においてピン（玉）は、標準歯車の基準円上で、転位歯車のd +2xm 円上で歯車と接するのが理想です。
図5.7のような平歯車において、上記の円上で接するピン（玉）の直径を求める方法を表5.13に示します。

図5.7 平歯車のオーバピン寸法

表5.13 平歯車に接するピン（玉）の直径

番号	計算項目	記号	計算式	計算例
1	歯溝の半角	η		m=1 α=20° z=20 x=0 η=0.0636354 α'=20° φ=0.4276057 d'p=1.7245
2	ピン（玉）と歯面との接点における圧力角	α'
3	ピン（玉）の中心を通る圧力角	φ	tanα'+η
4	理想的なピン（玉）の直径	d'p	zm cosα（invφ+η）

注.　角度η、φの単位はラジアンです。

ここで計算されたピン（玉）の直径は理想的なものですが、これは特別に製作しなければ、入手できません。
この場合は、計算されたピン（玉）の直径に近い市販されている高精度なピン（玉）を使用してオーバピン（玉）寸法を測定するのが現実的です。
ピンの直径が決まったならば、次に表5.14によりオーバピン（玉）寸法を計算します。

表5.14　平歯車のオーバピン（玉）寸法

番号	計算項目	記号	計算式	計算例
1	ピン（玉）の直径	dp	注1	dp=1.7として invφ=0.0268197 φ=24.1350° M=22.2941
2	インボリュートφ	invφ
3	ピン（玉）の中心を通る圧力角	φ	インボリュート関数表から求める。
4	オーバピン（玉）寸法	M	偶数歯奇数歯

注1．表5.13にて求めた理想的なピン（玉）の直径か又はそれに近い直径のものを使用する。

表5.15にはモジュールm =1、基準圧力角α=20°の平歯車においてd +2xm 円上で平歯車に接するピンの直径の計算値を示します。

表5.15　d +2xm 円上で平歯車に接するピンの直径

（m =1、α=20°）

歯数z	転位係数x
歯数z		-0.4	-0.2	0	0.2	0.4	0.6	0.8	1.0
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200	1.6231 1.6418 1.6500 1.6547 1.6577 1.6598 1.6613 1.6625 1.6635 1.6642 1.6649 1.6654 1.6659 1.6663 1.6666 1.6669 1.6672 1.6674 1.6676	1.6347 1.6599 1.6649 1.6669 1.6680 1.6687 1.6692 1.6695 1.6698 1.6700 1.6701 1.6703 1.6704 1.6705 1.6706 1.6706 1.6707 1.6707 1.6708 1.6708	1.7886 1.7244 1.7057 1.6967 1.6915 1.6881 1.6857 1.6839 1.6825 1.6814 1.6805 1.6797 1.6791 1.6785 1.6781 1.6777 1.6773 1.6770 1.6767 1.6764	1.9979 1.8149 1.7632 1.7389 1.7247 1.7155 1.7090 1.7042 1.7005 1.6975 1.6951 1.6931 1.6914 1.6900 1.6887 1.6876 1.6867 1.6858 1.6851 1.6844	2.2687 1.9306 1.8369 1.7930 1.7675 1.7509 1.7391 1.7304 1.7237 1.7184 1.7140 1.7104 1.7074 1.7048 1.7025 1.7006 1.6988 1.6973 1.6959 1.6947	2.6079 2.0718 1.9267 1.8589 1.8196 1.7940 1.7759 1.7625 1.7521 1.7439 1.7372 1.7316 1.7269 1.7229 1.7194 1.7164 1.7137 1.7114 1.7093 1.7074	3.0248 2.2389 2.0324 1.9365 1.8810 1.8448 1.8193 1.8003 1.7857 1.7740 1.7645 1.7567 1.7500 1.7443 1.7394 1.7351 1.7314 1.7280 1.7250 1.7223	3.5315 2.4329 2.1542 2.0257 1.9515 1.9032 1.8691 1.8438 1.8242 1.8087 1.7960 1.7855 1.7766 1.7690 1.7625 1.7567 1.7517 1.7472 1.7432 1.7396

（2）ラックとはすばラック

図5.8 ラックのオーバピン寸法

表5.16A ラックのオーバピン（玉）寸法

番号	計算項目	記号	計算式	計算例
1	理想的なピン（玉）の直径	d'p		m=1 α=20 =1.5708 dp'=1.6716 dp=1.7とする H=14.0000 M=15.1774
2	オーバピン（玉）寸法	M		m=1 α=20 =1.5708 dp'=1.6716 dp=1.7とする H=14.0000 M=15.1774

はすばラックの場合は、表5.16Aのモジュールmを歯直角モジュールmnに、基準圧力角αを歯直角圧力角αnに置き換えて計算します。
軸直角方式はすばラックを歯直角方式はすばラックに換算するには、次の関係式を用います。

表5.16B はすばラックのオーバピン（玉）寸法

番号	計算項目	記号	計算式	計算例
1	理想的なピン（玉）の直径	d'p		mt=1、αt=20°、β=15° mn=0.96593、αn=19.37 =1.51727 dp'=1.60831 dp=1.6とする H=14.0000 M=15.05419
2	オーバピン（玉）寸法	M

（3）内歯車

図5.9のように、内歯車の場合も、ピン（玉）はd +2xm 円上で内歯車に接するのが理想です。
表5.17には理想的なピン（玉）の直径を求める方法を、表5.18には内歯車のビィトイーンピン（玉）寸法の計算を示します。

図5.9 内歯車のビィトイーンピン（玉）寸法

表5.17 ピン（玉）の直径

番号	計算項目	記号	計算式	計算例
1	歯溝の半角	η		m=1 α=20° z=40 x=0 η=0.054174 α'=20° φ=0.309796 d'p=1.6489
2	ピン（玉）と歯面との接点における圧力角	α'
3	ピン（玉）の中心を通る圧力角	φ	tanα'-η
4	理想的なピン（玉）の直径	d'p	zm cosα（η-invφ）

注．角度η、φの単位はラジアンです。

表5.18 内歯車のビィトイーンピン（玉）寸法

番号	計算項目	記号	計算式	計算例
1	ピン（玉）の直径	dp	注1	dp=1.7とする invφ=0.0089467 φ=16.9521° M=37.5951
2	インボリュートφ	invφ
3	ピン（玉）の中心を通る圧力角	φ	インボリュート関数表から求める。
4	ビィトイーンピン（玉）寸法	M	偶数歯奇数歯

注1．表5.17にて求めた理想的なピン（玉）の直径か又はそれに近い直径のものを使用する。

表5.19にはモジュールm =1、基準圧力角α=20°の内歯車においてd +2xm 円上で内歯車に接するピンの直径の計算値を示します。

表5.19　d +2xm 円上で内歯車に接するピンの直径

（m =1、α=20°）

歯数z	転位係数x
歯数z		-0.4	-0.2	0	0.2	0.4	0.6	0.8	1.0
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200	－ 1.4687 1.5309 1.5640 1.5845 1.5985 1.6086 1.6162 1.6222 1.6270 1.6310 1.6343 1.6371 1.6395 1.6416 1.6435 1.6451 1.6466 1.6479 1.6490	1.4789 1.5604 1.5942 1.6123 1.6236 1.6312 1.6368 1.6410 1.6443 1.6470 1.6492 1.6510 1.6525 1.6539 1.6550 1.6561 1.6570 1.6578 1.6585 1.6591	1.5936 1.6284 1.6418 1.6489 1.6532 1.6562 1.6583 1.6600 1.6612 1.6622 1.6631 1.6638 1.6644 1.6649 1.6653 1.6657 1.6661 1.6664 1.6666 1.6669	1.6758 1.6759 1.6751 1.6745 1.6740 1.6737 1.6734 1.6732 1.6731 1.6729 1.6728 1.6727 1.6727 1.6726 1.6725 1.6725 1.6724 1.6724 1.6723 1.6723	1.7283 1.7047 1.6949 1.6895 1.6862 1.6839 1.6822 1.6810 1.6800 1.6792 1.6785 1.6779 1.6775 1.6771 1.6767 1.6764 1.6761 1.6759 1.6757 1.6755	1.7519 1.7154 1.7016 1.6944 1.6900 1.6870 1.6849 1.6833 1.6820 1.6810 1.6801 1.6794 1.6788 1.6783 1.6779 1.6775 1.6771 1.6768 1.6766 1.6763	1.7460 1.7084 1.6956 1.6893 1.6856 1.6832 1.6815 1.6802 1.6792 1.6784 1.6778 1.6772 1.6768 1.6764 1.6761 1.6758 1.6755 1.6753 1.6751 1.6749	1.7092 1.6837 1.6771 1.6744 1.6732 1.6725 1.6721 1.6718 1.6717 1.6715 1.6715 1.6714 1.6714 1.6714 1.6713 1.6713 1.6713 1.6713 1.6713 1.6713

（4）はすば歯車

はすば歯車において歯車の d + 2xnmn 円上で歯車に接するような理想的な玉（ピン）の直径は、平歯車の式の歯数zを相当平歯車数zvに置き換えることにより近似的に計算できます。
表5.20には歯直角方式はすば歯車の玉（ピン）の直径の計算を、表5.21にはオーバ玉（ピン）寸法の計算を示します。

表5.20 歯直角方式はすば歯車の玉（ピン）の直径

番号	計算項目	記号	計算式	計算例
1	相当平歯車歯数	zv		mn=1 αn=20° z=20 β=15°00'00" xn=+0.4 zv=22.19211 ηv=0.0427566 α'v=24.90647° φv=0.507078 d'p=1.9020
2	歯溝の半角	ηv
3	玉（ピン）と歯面との接点における圧力角	α'v
4	玉（ピン）の中心を通る圧力角	φv	tanα'v +ηv
5	理想的な玉（ピン）の直径	d'p	zvmn cosαn（invφv+ηv）

注．角度ηv、φvの単位はラジアンです。

表5.21 歯直角方式はすば歯車のオーバ玉（ピン）の寸法

番号	計算項目	記号	計算式	計算例
1	玉（ピン）の直径	dp	注1	dp=2とする αt=20.646896° invφ=0.058890 φ=30.8534° M=24.5696
2	インボリュートφ	invφ
3	玉（ピン）の中心を通る圧力角	φ	インボリュート関数表から求める。
4	オーバ玉（ピン）寸法	M	偶数歯奇数歯

注1．表5.20にて求めた理想的な玉（ピン）の直径か又はそれに近い直径のものを使用します。

表5.22には軸直角方式はすば歯車の玉（ピン）の直径の計算を、表5.23にはオーバ玉（ピン）寸法の計算を示します。

表5.22 軸直角方式はすば歯車の玉（ピン）の直径

番号	計算項目	記号	計算式	計算例
1	相当平歯車歯数	zv		mt=3 αt=20° z=36 β=33°33'26.3" αn=16.87300° xt=+0.2 zv=62.20800 ηv=0.014091 α'v=18.26390 φv=0.34411 invφv=0.014258 d'p=4.2190
2	歯溝の半角	ηv
3	玉（ピン）と歯面との接点における圧力角	α'v
4	玉（ピン）の中心を通る圧力角	φv	tanα' +ηv
5	理想的な玉（ピン）の直径	d'p	zvmt cosβcosαn（invφ+ηv）

注．角度ηv、φvの単位はラジアンです。

表5.23 軸直角方式はすば歯車のオーバ玉（ピン）寸法

番号	計算項目	記号	計算式	計算例
1	玉（ピン）の直径	dp	注1	dp=4.5 invφ=0.027564 φ=24.3453° M=115.892
2	インボリュートφ	invφ
3	玉の中心を通る圧力角	φ	インボリュート関数表から求める。
4	オーバ玉（ピン）寸法	M	偶数歯奇数歯

（5）ウォームの三針法

ウォームの歯形として広く使用されている3形の歯形は工具圧力角α0 = 20°を基準としていますが、この工具で切削されるウォームの歯直角圧力角αnは20°より小さくなります。その歯直角圧力角αnを求めるAGMAの近似式を示します。

　（5.7）

ここに	r：ウォームの基準円直径 r0：工具の半径 z1：ウォームの条数 γ：ウォームの基準円筒進み角

この3形歯形の三針寸法に関する資料は乏しいのですが、ここではいくつかの近似的な計算方法を紹介します。

図5.10　ウォームの三針法

（a）ウォームをラックのような直線歯形として計算する方法

ウォームの歯形を直線歯形として近似的に考えれば、ラックと同様に表5.24のような方法にて計算することができます。

表5.24　ウォームの三針寸法の計算（a）-1

番号	計算項目	記号	計算式	計算例
1	理想的なピン（玉）の直径	d'p		mx=2　αn=20° z1=1　d1=31 r=3.691386° αx=20.03827° d'p=3.3440 dp=3.3とする M=35.3173
2	三針寸法	M

しかし、この方法はウォームの進み角を小さいとして無視していますから、進み角が大きくなると誤差が大きくなります。その進み角を考慮したのが次に示す表5.25の方法です。

表5.25　ウォームの三針寸法の計算（a）-2

番号	計算項目	記号	計算式	計算例
1	理想的なピン（玉）の直径	d'p		mx=2　αn=20° z1=1　d1=31 r=3.691386° mn=1.99585 d'p=3.3363 dp=3.3とする M=35.3344
2	三針寸法	M

（b）はすば歯車の式を近似的に代用する方法

この方法は、はすば歯車のオーバピン（玉）寸法を計算する式をウォームの三針寸法の計算に代用するものです。
3形のウォームはインボリュート歯形ではないので、この方法はあくまでも近似的なものですが、実用上はこれで充分です。
表5.26、5.27は軸方向モジュール方式ウォームの計算を、表5.28、5.29には歯直角方式ウォームの計算を示します。

表5.26　軸方向モジュール方式ウォームのピン（玉）の直径

番号	計算項目	記号	計算式	計算例
1	相当平歯車歯数	zv		mx=2 αn=20° z1=1 d1=31 γ=3.691386° zv=3747.1491 ηv=-0.014485 α'v=20° φv=0.349485 invφv=0.014960 d'p=3.3382
2	歯溝の半角	ηv
3	ピン（玉）と歯面との接点における圧力角	α'v
4	ピン（玉）の中心を通る圧力角	φv	tanα'+ηv
5	理想的なピン（玉）の直径	d'p	zvmx cosr cosαn（invφ+ηv）

注．角度ηv、φvの単位はラジアンです。

表5.27　軸方向モジュール方式ウォームの三針寸法

番号	計算項目	記号	計算式	計算例
1	ピン（玉）の直径	dp	注1	dp=3.3とする αt=79.96878° invαt=4.257549 invφ=4.446297 φ=80.2959° M=35.3345
2	インボリュートφ	invφ
3	ピン（玉）の中心を通る圧力角	φ	インボリュート関数表から求める。
4	三針寸法	M

注1．表5.26にて求めた理想的な玉（ピン）の直径か又はそれに近い直径のものを使用する。

注2．ここで

です。

次に歯直角モジュール方式のウォームの計算を示します。
基本的には軸方向モジュール方式でも歯直角モジュール方式でも計算式は同じものでいいのですが、基準となるモジュールを使えるように計算式を変形しています。

表5.28　歯直角方式ウォームのピン（玉）の直径

番号	計算項目	記号	計算式	計算例
1	相当平歯車歯数	zv		mn=2.5 αn=20° z1=1 d1=37 γ=3.874288° zv=3241.792 ηv=-0.014420 α'v=20° φv=0.349550 invφv=0.0149687 d'p=4.1785
2	歯溝の半角	ηv
3	ピン（玉）と歯面との接点における圧力角	α'v
4	ピン（玉）の中心を通る圧力角	φv	tanα'+η
5	理想的なピン（玉）の直径	d'p	zvmn cosαn（invφ+η）

注．角度ηv、φvの単位はラジアンです。

表5.29　歯直角方式ウォームの三針寸法

番号	計算項目	記号	計算式	計算例
1	ピン（玉）の直径	dp	注1	dp=4.2とする αt=79.48331° invαt=3.999514 invφ=4.216536 φ=79,8947° M=42,6897
2	インボリュートφ	invφ
3	ピン（玉）の中心を通る圧力角	φ	インボリュート関数表から求める。
4	三針寸法	M